Штоквич происходил из дворян Тифлисской губернии православного вероисповедания, родился в 1828 году, сын кавказского офицера, погибшего в 1829 году при штурме Карса. Образование получил в Тифлисской гимназии.
В 1847 году поступил на военную службу в лейб-гренадерский Эриванский полк унтер-офицером, в том же году переименован в юнкера, а в 1849 году произведён в прапорщики. Вся боевая служба Штоквича прошла на Кавказе.
Во время Восточной войны он за отличие в сражении с турками под Баяндуром 2 ноября 1853 года был произведён в подпоручики, 19 ноября 1853 года за отличие в сражении под Баш-Кадыкларом награждён орденом св. Анны 4-й степени с надписью «За храбрость». В 1854 году в сражении с турками под Курюк-Дара контужен в правое предплечье осколком гранаты и ранен в руку пулей навылет; за отличие в этом сражении произведён в поручики.
По окончании военных действий против турок Штоквич сражался в Чечне и Дагестане. За отличие в сражении с горцами под аулом Ведено 10 марта 1859 года он получил чин штабс-капитана. Также он участвовал в экспедиции, кончившейся взятием Гуниба и пленением Шамиля.
В первых числах мая 1877 года капитан Штоквич был командирован из местного Тифлисского полка в Баязет для занятия должности коменданта цитадели. Гарнизон составлял 1400 человек.
В 1 июня вокруг города сосредоточился шеститысячный турецкий корпус, 4 июня число турецких войск увеличилось до 25 000 человек. 5 июня гарнизон города укрылся в цитадели. 6 июня турки ворвались в город. Расположив свою артиллерию на возвышенности напротив восточных ворот крепости они принялись за интенсивный обстрел. 8 июня был предпринят штурм цитадели, который был отражён. Тогда турки обустроили правильную блокаду крепости.
Гарнизон испытывал неимоверные трудности, жажду и голод. Запасы воды быстро истощились. Солдаты настолько обессилели, что отдача ружья сбивала их с ног. «Два—три суточных сухарика и одна столовая ложка протухлой, с трупным запахом, воды при 40—45° палящей жаре в течение многих дней сделали своё дело: они не убили гарнизон, но обратили его в толпу скелетов и живых мертвецов, на которых без душевного содрогания и ужаса нельзя было взглянуть», — вспоминал потом Штоквич.
Зная о бедственном положении гарнизона, противник засылал в крепость парламентёров с предложениями о сдаче: «…если оружие сложить мирно без бет всем чесно по чинам забезпечено Ваши жилание, — Вероятно вам известно что не получите никакой помощи напрасно время проводите мы знаем Ваше положение после этого уверяем Вас что неостанется ни одного и последствие будет зависеть от Вас…» (орфография оригинала сохранена). Но все требования о капитуляции были Штоквичем отвергнуты.
27 июня на помощь к Баязету подошёл с войсками генерал Тергукасов и атаковал блокадный турецкий корпус, Штоквич также с частью гарнизона совершил вылазку. Турки были разбиты. Таким образом завершилась 23-дневная оборона крепости. Впоследствии Штоквич писал: «Продлись осада ещё 5—6 дней — и весь гарнизон поголовно был бы мёртв от голода и жажды, или же цитадель взлетела бы на воздух вместе с ворвавшимися в крепость турками».
Наместник Кавказа великий князь Михаил Николаевич 7 июля телеграфировал капитану Штоквичу: «Государь император приказал мне поздравить вас с Георгием 4-й степени. Искренно радуюсь. Ещё раз усердно благодарю».
31 декабря 1877 года Штоквич был произведён в майоры и награждён орденом св. Георгия 4-й степени
Кроме того, 18 апреля 1878 года он был удостоен золотой сабли с надписью «За храбрость».
Умер Штоквич 15 марта 1896 года в чине полковника, будучи Царскосельским комендантом; похоронен на Казанском кладбище Царского Села.
Капитан Штоквич выведен Валентином Пикулём в романе «Баязет» под именем Ефрем Иванович Штоквиц.
