Ранняя жизнь и образование
Родился Анри Швери 14 июня 1932, в Сен-Леонаре, кантон Вале, в Швейцарии. Швери получил образование в младшей семинарии Сьона, в Колледже-институте в Сьоне и в старшей семинарии Сьона (католическое богословие и философия), а также в Папском Григорианском Университете, в Риме; в Фрибурском университете, Фрибур (математика и теоретическая физика).
Священник и епископ
7 июля 1957 он был рукоположен в священника, в Сен-Леонаре, Нестором Франсуа Адамом — епископом Сьона. Продолжение обучения в 1957—1961. Пасторская работа в диоцезе Сьона в 1961—1977. Капеллан Студенческой молодежи Католического Действия в 1958—1966. Военный капеллан в 1958—1977. Член профессорско-преподавательского состава Колледжа-института в Сьоне, в 1961—1972; ректор это учебного заведения в 1972—1977. Директор младшей семинарии, в Сьоне, 1968—1972. Модератор епархиального синода в 1973—1976.
Папа римский Павел VI назначил Швери 22 июля 1977, епископом Сьона. Ординация состоялась 17 сентября 1977, в Сьоне. Ординацию совершил Нестор Франсуа Адам — бывший епископ Сьона, которому помогали Пьер Мамье — епископ Лозанны, Женевы и Фрибура и Отмар Медер — епископ Санкт-Галлена. Почетный каноник территориального аббатства Сен-Морис д'Агонн. Председатель епископской конференции Швейцарии в 1983—1988.
Кардинал
Возведен в кардиналы-священники папой римским Иоанном Павлом II на консистории от 28 июня 1991, с титулом церкви Ss. Protomartiri a Via Aurelia Antica. В течение марта этого же года, он засвидетельствовал свое уважение умирающему архиепископу Марселю Лефевру. 1 апреля 1995 он ушел в с поста епископа Сьона. Швери был одним из кардиналов-выборщиков, которые участвовали в Папском Конклаве 2005, который избрал папу римского Бенедикта XVI.
Титулы
Великий приор Швейцарского Лейтенантства и кавалер Большого Креста Рыцарского Ордена Святого Гроба Господня Иерусалимского.
