Родился 20 июня 1807 г., происходил из дворян Смоленской губернии и воспитывался в школе гвардейских подпрапорщиков и кавалерийских юнкеров, откуда выпущен в 1827 году прапорщиком в лейб-гвардии Преображенский полк. Он участвовал в Турецкой кампании 1828 года при блокаде Варны, а в 1831 г. участвовал в усмирении польского мятежа и находился, 25 и 26 августа, при взятии приступом передовых Варшавских укреплений и городового вала. Произведённый 1 февраля 1846 г. в полковники, Челищев за беспорочную выслугу 25 лет в офицерских чинах был награждён орденом св. Георгия 4-й степени (№ 8866 по списку Григоровича—Степанова) и уволен в бессрочный отпуск, а в 1854 году зачислен вновь на службу с назначением командиром запасного батальона лейб-гвардии Преображенского полка. 27 марта 1855 г. Челищев произведён в генерал-майоры, с назначением командующим 3-ю гвардейской резервной пехотной бригадой, в 1856 году назначен командиром 1-й резервной бригады 2-й гвардейской резервной пехотной дивизии; в 1857 году зачислен по армейской пехоте и в запасные войска; в том же году назначен состоять при 2-й гвардейской пехотной дивизии, а в 1865 году произведён в генерал-лейтенанты по армейской пехоте.
Умер 10 января 1866 г.
Его брат, Владимир Егорович, также был генералом и исполнял должность Одесского коменданта.
