Он вышел из простых служилых людей и был первым в своём роду боярином в Чернигове. Впоследствии, в 1340 году он переехал в Москву и присягнул на верность князю Московскому. Здесь Фёдор Бяконт стал путным боярином у Великого князя Московского Симеона Гордого.
Его старший сын, Алферей (или по другому прочтению Елевферий) во иночестве Алексий, был воспитан митрополитом Феогностом и в 1355 году сам был поставлен Митрополитом Киевским и всея Руси. Впоследствии он был канонизован.
Другой его сын именовался Александром и имел прозвище Плещей. Вначале он был княжеским наместником в Костроме (1375 год), потом боярином. Его потомки стали носить фамилию Плещеев. Но непосредственно сам исторический род Плещеевых произошёл от ещё одного сына Фёдора Бяконта, Феофана. Остальные его сыновья были бездетны, поэтому Бяконтов род пресёкся.
У Фёдора Бяконта, был пра-правнук из рода Плещеевых — Игнатий Константинович Плещеев, потомки которого, по имени родоначальника, приняли фамилию Игнатьевы.
Иногда Фёдора Бяконта отождествляют с боярином Фёдором Акинфовичем. Однако согласно «Государеву родословцу» Фёдор Акинфович умер бездетным, и никаких документальных оснований для такого отождествления не существует.
