Изучал политику и юриспруденцию в Эрлангене и Бонне. В 1796 г. поступил на российскую дипломатическую службу, последовав примеру отца и старшего брата. В 1801—1805 гг. секретарь дипломатической миссии в Штутгарте, затем в Вене, в 1809—1812 гг. в Касселе. В 1813—1814 гг. неофициальным образом исполнял дипломатические поручения российского правительства в Гамбурге, в 1815 г. занял должность российского консула в Гамбурге, с 1820 г. там же министр-резидент; с 1827 г. по совместительству также в Любеке и Бремене, с 1829 г. и в Ольденбург. В 1843 г. должность Струве была официально наименована как чрезвычайный посланник при Ганзейских городах.
Занимался минералогией, опубликовал «Труды по минералогии, преимущественно в отношении Вюртемберга и Шварцвальда» (нем. Mineralogische Beitr?ge, vorz?glich in Hinsicht auf W?rtemberg und den Schwarzwald; Гота, 1807) и «Минералогия и геология Северной Америки» (нем. Beitr?ge zur Mineralogie und Geologie dei n?rdlichen Amerika; Гамбург, 1822). С 31 января 1816 г. член-корреспондент, с 17 декабря 1828 г. почётный член Санкт-Петербургской академии наук.
Почётный гражданин Гамбурга (1843). В честь Генриха Струве назван впервые описанный в Гамбурге в 1845 г. минерал струвит.
