В детстве пел в хоре мальчиков дублинского кафедрального собора. В 1783 г. назначен хоральным викарием Собора Святого Патрика, а в 1800 г. — кафедрального собора. В 1791 г. получил от Дублинского университета степень доктора музыки honoris causa. В 1803 г. возведён в рыцарское достоинство. В 1814 г. назначен органистом и музыкальным руководителем королевской часовни в Дублинском замке.
Сочинения Стивенсона, помимо церковных, включают оперы, симфонии и др., однако наибольшую популярность завоевали его песни, а среди них — прежде всего, песни на стихи Томаса Мура, особенно сборник из десяти песен «Ирландские мелодии». Первые четыре написаны в 1808—1812 гг., следующие три — в 1813—1818 гг.; в дальнейшем между Стивенсоном и Муром возникли разногласия, и для трёх последующих романсов сборника музыку написал Генри Бишоп (1786—1855), однако на смерть Стивенсона Мур откликнулся поминальным стихотворением «Silence is in our Festal Halls».
