Изучал в Стокгольме клавир, орган и композицию (в том числе в музыкальной школе Рихарда Андерссона), в 1892 дебютировал как пианист и впоследствии был известен, в частности, выступлениями в дуэте со скрипачом Туром Аулином. В 1893 году сочиняет четырёхчастный Первый фортепианный концерт, обнаруживающий влияние стиля Иоганнеса Брамса. Затем учился в Берлине, где попал под сильное влияние музыки Рихарда Вагнера и Антона Брукнера, особенно сказавшееся в Первой симфонии (1902—1903), а также во Втором фортепианном концерте (1903). В дальнейшем пересмотрел свои творческие ориентиры, опираясь на опыт Карла Нильсена и Яна Сибелиуса, дистанцировавшихся от германского музыкального влияния, и отрёкся от своей Первой симфонии. В 1906 г. возглавил новосозданный Гётеборгский симфонический оркестр и оставался его руководителем до 1922 года; в 1909 г. на короткий срок занял пост музыкального руководителя Упсальского университета и его оркестра. В 1923—1925 гг. дирижёр Стокгольмской Королевской оперы. Умер от инфаркта.
Стенхаммару принадлежат две законченные симфонии, из которых он признавал только Вторую (оp. 34, 1911—1915); небольшой фрагмент Третьей симфонии (композитор написал лишь несколько страниц партитуры) был позже записан под управлением Г. Н. Рождественского. Среди других произведений — два фортепианных концерта, пять фортепианных сонат, две ранние оперы, различная хоровая музыка. Наиболее значительными считаются его шесть струнных квартетов.
