Учился в Парижской консерватории у Луи Дьемера. В 1895 г. на Втором Рубинштейновском конкурсе в Берлине получил при финальном голосовании членов жюри равное число голосов с Иосифом Левиным, однако при повторном голосовании у Левина оказалось на один голос больше, и Стауб получил всего лишь поощрительный диплом.
В дальнейшем концертировал, с 1909 г. преподавал в Парижской консерватории (среди его учеников Хосе Итурби). Автор многочисленных фортепианных пьес, а также переложений (в частности, фортепианной аранжировки «Ученика чародея» Поля Дюка).
